向量的点乘（内积）和叉乘（外积）是两种不同的向量运算，具有不同的性质和应用。
**点乘（内积）性质：**
1. **交换律：** 向量的点乘是可交换的，即 \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{B} \cdot \mathbf{A} \)。
2. **分配律：** 对于向量的点乘，分配律成立，即 \( \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{C} \)。
3. **与数量乘法结合律：** \( k(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) = k \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot (k \mathbf{B}) \)。
4. **与零向量：** 向量的点乘与零向量的结果为0，即 \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{0} = 0 \)。
5. **与同向向量：** 向量的点乘与同向向量的结果为正值，即 \( \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} > 0 \)，当且仅当向量 \( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 在同一方向上。
**叉乘（外积）性质：**
1. **交叉律：** 向量的叉乘不满足交换律，即 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \times \mathbf{A} \)。
2. **分配律：** 对于向量的叉乘，分配律同样成立，即 \( \mathbf{A} \times (\mathbf{B} + \mathbf{C}) = \mathbf{A} \times \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{C} \)。
3. **与数量乘法结合律：** \( k(\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = k \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{A} \times (k \mathbf{B}) \)。
4. **与零向量：** 向量的叉乘与零向量的结果为零向量，即 \( \mathbf{A} \times \mathbf{0} = \mathbf{0} \)。
5. **与同向向量：** 向量的叉乘与同向向量的结果为零向量，即 \( \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{0} \)，当且仅当向量 \( \mathbf{A} \) 和 \( \mathbf{B} \) 平行或其中一个为零向量。
这些是向量点乘和叉乘的一些基本性质，但不是所有性质都在所有情况下成立。在特定应用中，这些性质可能会有所不同，因此在使用向量运算时要注意上下文和条件。
