积分是微积分的一个重要概念，表示曲线下面的面积。其定义和推导过程如下：
1. 定义
设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，将该区间分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，取 $x_i = a + i\Delta x$，则曲线下面的面积可以近似表示为：
$$S_n = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$
当 $n$ 趋近于无穷大时，$S_n$ 的极限值称为函数 $y=f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分，记作：
$$\int_a^b f(x)dx$$
2. 推导过程
为了更好地理解积分的定义，我们可以从微小的面积元素开始推导。
假设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，将其分成 $n$ 等分，每个小区间长度为 $\Delta x = \frac{b-a}{n}$，取 $x_i = a + i\Delta x$，则第 $i$ 个小区间上的面积可以表示为：
$$\Delta S_i = f(x_i)\Delta x$$
将所有小区间的面积相加，得到曲线下面的总面积：
$$S = \sum_{i=1}^n \Delta S_i = \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$
当 $n$ 趋近于无穷大时，$\Delta x$ 趋近于 0，$\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$ 的极限值就是该曲线下面的面积。因此，我们可以得到积分的定义：
$$\int_a^b f(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x$$
通过这个定义，我们可以求出函数在任意区间内的定积分。
