为了求解$\arctan(\sin x)$,我们需要使用反正切函数$y=\arctan(x)$，我们知道$\sin x$的定义域是$[-1,1]$,而$\arctan(x)$的定义域是$(-\infty,+\infty)$，这意味着我们可以在$\sin x$的整个定义域内求解$\arctan(\sin x)$。
我们来考虑$\sin x$的一个周期性，当$x\in[0,2\pi]$时，$\sin x$的值在$-1$和$1$之间变化，而$\arctan(x)$的值在$-\frac{\pi}{4}$和$\frac{\pi}{4}$之间变化，这意味着$\sin x$和$\arctan(x)$之间的关系是周期性的，周期为$2\pi$。
为了找到$\arctan(\sin x)$在一个周期内的表达式，我们可以观察以下公式：
$\arctan(\sin (x+\frac{\pi}{2}))=\arctan(\cos (x))=\frac{\pi}{2}-\angle x$
\angle x$是角x的余弦值，这个公式告诉我们，如果我们知道一个角的余弦值，我们就可以找到它在$\frac{\pi}{2}$轴上的角度，然后用$\frac{\pi}{2}$减去这个角度，就可以得到$\arctan(\sin x)$在这个角上的值。
现在我们已经知道了$\arctan(\sin x)$在一个周期内的表达式，我们可以用这个表达式来计算$\arctan(\sin x)$在任何给定区间内的值，如果我们知道$\sin x$在某个区间内的值，我们可以先计算出这个区间对应的角度，然后用$\frac{\pi}{2}$减去这个角度，就可以得到$\arctan(\sin x)$在这个区间内的值。
