下面是收敛半径和收敛区间的详细过程：
收敛半径
收敛半径是指迭代方法的解逐渐接近真实解的最大速度，也就是迭代结果距离真实解的距离越来越近。通常使用以下公式计算收敛半径：
r = lim(n->∞) (|x_n+1 - x*| / |x_n - x*|)
其中，r为收敛半径，x_n表示第n次迭代的解，x*表示真实解。当n趋近于无穷大时，收敛半径就是解逐渐接近真实解的最大速度。
收敛区间
收敛区间是指迭代方法的解逐渐接近真实解的范围，也就是迭代结果在该范围内逐渐趋近于真实解。通常使用以下步骤计算收敛区间：
首先确定一个初始解x_0，并进行靠前次迭代得到x_1。
计算|x_1 - x*|，其中x*表示真实解。
如果|x_1 - x*|小于某个给定的容许误差，即收敛精度，那么迭代过程就结束，x_1就是最终解。
如果|x_1 - x*|大于收敛精度，则进行第二次迭代得到x_2，再计算|x_2 - x*|。
重复以上步骤，直到|x_n - x*|小于收敛精度为止。这样得到的迭代序列{x_n}就是收敛区间。
需要注意的是，不同的迭代方法可能具有不同的收敛半径和收敛区间。此外，收敛半径和收敛区间的具体计算方法也可能因具体的问题而异。
欧拉公式$e^{ix}=\cos x+i\sin x$，两边同时对 $x$ 求导，有
$$ie^{ix}=-\sin x+icosx$$
所以，由柯西-阿达玛公式可得，若幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径为 $R$，则收敛区间为 $(-R,R)$，其中 $R$ 由下式给出：
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{R}&=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\\
&=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{1}{a_n}\right)\right|\\
&=\limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{a_n}{n}\right)\right|
\end{aligned}
$$
其中 $\limsup\limits_{n\to\infty}c_n$ 被定义为
$$
\limsup_{n\to\infty}c_n=\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\geq n}c_k\right)
$$
特别地，当 $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\infty$ 时，$R=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$，我们注意到，由于 $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 是一个上确界，所以若存在 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$，则 $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$。此时，若 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$，即 $r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$ 存在，则幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 收敛于 $(-r,r)$，而 $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}>1$ 时，$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ 不存在，故幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的收敛半径为 $0$。
接下来，我们考虑计算使用柯西-阿达玛公式求幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$ 的收敛半径。令 $A(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$，如果 $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{n!}}\right)\right|=L$，则 $A(z)$ 在 $|z|<\frac{1}{L}$ 收敛；若 $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{n!}}\right)\right|=\infty$，则 $A(z)$ 在 $|z|=0$ 收敛，但不在 $|z|>0$ 收敛；若 $\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{n!}}\right)\right|=0$，则 $A(z)=e^z$ 始终收敛。
因为
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{n}\cot^{-1}\left(\frac{1}{\frac{1}{n!}}\right)&=\frac{1}{n}\cot^{-1}(n!)\\
&=\frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{2}-n\log n+n+\frac{\log(2\pi n)}{2}+O\left(\frac{1}{n}\right)\right)\\
&\sim\frac{\pi}{2n}
\end{aligned}
$$
所以 $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n!}}=0$，即无收敛半径。幸好 $\frac{1}{n!}$ 的增长速度非常之慢，所以幂级数 $\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}$ 依然可以在复平面内的任意点收敛。这个事实对于分析各类函数的泰勒级数非常重要。请问您需要哪方面的帮助或者有什么问题需要解答呢？。
