根号65是一个无理数，它的值约等于8.24，这个数值无法用有限的小数或分数精确表示，但可以通过一些近似方法来得到。
一种常见的方法是使用牛顿迭代法，牛顿迭代法是一种求解方程零点的方法，其基本思想是从一个初始值开始，通过不断迭代逼近真实值，对于求解根号65的问题，我们可以构造一个函数f(x)=x^2-65,然后用牛顿迭代法不断逼近真实值。
我们首先选择一个初始值x0,然后计算f(x0)和f^(-1)(x0),其中f^(-1)(x0)表示f(x)在x0处的导数值，我们用f^(-1)(x0)乘以一个系数α(通常取为0.5),并将结果与x0相加，得到新的x1，重复这个过程多次后，我们就可以得到一个足够精确的近似值。
使用这种方法，我们可以得到根号65的近似值约为8.24，这个数值仍然是一个无理数，无法用有限的小数或分数精确表示，通过不断迭代和提高精度，我们可以越来越接近真实值。
