二重积分的奇偶性和对称性证明如下：
1. 奇偶性：若函数 $f(x,y)$ 满足 $f(-x,-y)=f(x,y)$，则有以下结论：
（1）若被积函数为偶函数，即 $f(-x,-y)=f(x,y)$，则有 $\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=2\iint_{D_+}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，其中 $D$ 为积分区域，$D_+$ 为 $D$ 中的右半部分。
（2）若被积函数为奇函数，即 $f(-x,-y)=-f(x,y)$，则有 $\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=$。
2. 对称性：若函数 $f(x,y)$ 满足 $f(x,y)=f(y,x)$，则有以下结论：
（1）对于关于 $y=x$ 对称的区域 $D$，有 $\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D f(y,x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
（2）对于关于 $y=-x$ 对称的区域 $D$，有 $\iint_D f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\iint_D f(-y,-x)\mathrm{d}y\mathrm{d}x$。
