反双曲余弦（也称为双曲余弦补码）是双曲正切函数的反函数。双曲正切函数通常用 tanh(x) 表示，它的定义域是实数域，值域是 (-1, 1)。反双曲余弦函数的定义则是将 tanh(x) 函数的值域映射回定义域，即对于 -1 ≤ x ≤ 1，有arctanh(tanh(x)) = x。
反双曲余弦函数的推导过程可以从多个角度进行，以下是一种常见的方法：
1. 首先，我们回顾一下双曲正切函数的泰勒级数展开：
tanh(x) = x - x^3/3 + 2x^5/15 - x^7/105 + ...
2. 对 tanh(x) 应用反函数运算，可以得到：
arctanh(x) = x + x^3/3 - 2x^5/15 + x^7/105 - ...
3. 为了简化这个级数，我们可以引入一个参数 a：
arctanh(ax) = ax + ax^3/3 - 2ax^5/15 + ax^7/105 - ...
4. 现在，我们要求 a 使得当 x = 1 时，arctanh(ax) = 1。通过调整 a，我们可以得到：
a = 1 + 1/3 - 2/15 + 1/105 - ...
5. 接下来，我们计算这个无穷级数的和。我们知道这个级数是收敛的，所以可以求出其精确值。经过计算，我们发现：
a = 1/2
6. 现在，我们有了反双曲余弦函数的表达式：
arctanh(x) = x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 + ...
需要注意的是，这个推导过程只保证了反双曲余弦函数在区间 [-1, 1] 上的正确性。在这个区间之外，反双曲余弦函数没有定义。
