如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在较早实数对x、y，使p=xa+yb。
实质作用
这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。
坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，a为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O为起点作向量OP=a。有平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得
向量OP=xi+yj。
因此向量，a=xi+yj。
我们把实数（x，y）对叫做向量的坐标，记作：a=（x，y）。
显然，其中（x，y）就是点P的坐标。
向量OP称为点P的位置向量。
共面向量
共面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在较早实数对x、y，使p=xa+yb。
正误判断
1．若a=0，则对任a·b≠0． 错（当a⊥b时，a · b=0）
2．若a≠0，a · b=0，则b=0错（当a和b都不为零，且a⊥b时，a · b=0）
3．若a · b=0，则a · b中至少有一个为0. 错（可以都不为0，当a⊥b时，a · b=0成立）
4．若a≠0，a · b=b · c，则a=c错（当b=0时）
5．若a · b=a · c,则b≠c,当且仅当a=0时成立． 错（a≠0且同时垂直于b，c时也成立）
6．对任意向量a有a·a=∣a∣* ∣a∣
平面向量的线性运算：加法为三角形法则'平行四边形法则'。定理：向量a与b共线，a不等于零，有且只有较早一个实数c，使b=ca。
平面向量基本定理。
