回答如下：是利用狄利克雷判别法进行证明。以下是巴塞尔级数的证明步骤：
1. 首先，我们考虑巴塞尔级数的一般形式：S = ∑(n=1至∞) (an/bn)，其中an和bn是实数。
2. 定义部分和Sn = ∑(n=1至N) (an/bn)。
3. 利用狄利克雷判别法，我们需要证明两个条件：
a. 部分和序列{Sn}有界，即存在M使得|Sn| ≤ M对于所有N成立。
b. 数列{bn}单调递减，并且极限lim(n→∞) bn = 0。
4. 证明靠前个条件：部分和序列{Sn}有界。首先，我们可以使用三角不等式来估计部分和Sn的绝对值：
|Sn| = |∑(n=1至N) (an/bn)| ≤ ∑(n=1至N) |an/bn| = ∑(n=1至N) |an|/|bn|
由于an和bn是实数，所以|an|和|bn|都是非负的。因此，我们可以将上式继续估计为：
|Sn| ≤ ∑(n=1至N) |an|/|bn| ≤ (∑(n=1至N) |an|)/min(|bn|)
其中min(|bn|)表示序列bn中的最小非零值。由于序列{bn}单调递减，并且极限lim(n→∞) bn = 0，所以序列{bn}中的最小非零值存在。因此，我们可以得到：
|Sn| ≤ (∑(n=1至N) |an|)/min(|bn|) ≤ (∑(n=1至∞) |an|)/min(|bn|)
右边的式子是一个常数，所以我们可以得出结论：部分和序列{Sn}有界。
5. 证明第二个条件：数列{bn}单调递减，并且极限lim(n→∞) bn = 0。由于{bn}是单调递减的，所以我们可以将其表示为bn+1 ≤ bn对于所有n成立。另外，我们需要证明lim(n→∞) bn = 0。根据狄利克雷判别法的条件，我们知道序列{bn}的部分和序列{Bn}必须有界。考虑到Sn = ∑(n=1至N) (an/bn)，我们可以将Sn表示为Sn = ∑(n=1至N) (an/bn) = ∑(n=1至N) an * (1/bn)。如果我们选择bn = 1
，那么部分和Sn可以表示为Sn = ∑(n=1至N) an * n。由于部分和序列{Sn}有界，我们可以得出结论：序列{bn}单调递减，并且极限lim(n→∞) bn = 0。
6. 综上所述，根据狄利克雷判别法的条件，我们可以得出结论：巴塞尔级数S = ∑(n=1至∞) (an/bn)收敛。
因此，我们证明了巴塞尔级数的收敛性。
证明方法经常使用数学分析中的一些技巧和定理。下面是一个常见的证明方法：
1. 首先，我们将要证明的级数表示为：
S = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...
2. 接下来，我们将级数按照正负号进行分组：
S = (1 - 1/2) + (1/3 - 1/4) + (1/5 - 1/6) + ...
3. 我们注意到每组括号内的两个数之间存在一对相邻的数，我们可以利用这一点进行处理。
4. 观察到，每组括号内的差可以通过通分得到一个简单的形式：
S = [(1*2 - 1*1)/2] + [(1*4 - 1*3)/4] + [(1*6 - 1*5)/6] + ...
5. 利用通分后，我们可以简化每组括号内的差：
S = [1/2] + [1/4] + [1/6] + ...
6. 现在，我们可以将每个分数拆分成基本分数的形式：
S = [(1/2)*(1/1)] + [(1/2)*(1/2)] + [(1/2)*(1/3)] + ...
7. 进一步简化，我们得到：
S = 1/2 + 1/4 + 1/6 + ...
8. 我们可以使用调和级数的性质来证明，调和级数是发散的，也就是说，和无限增长。由于我们得到的级数是调和级数的一个子集，因此它也是发散的。
9. 综上所述，巴塞尔级数是发散的。
需要注意的是，这只是巴塞尔级数证明的一种常见方法，还有其他不同的方法可以用来证明巴塞尔级数的发散性。证明方法可能因个人偏好或具体问题而有所不同。
1.
将f(x)=x^2在[-π,π]上展开成傅里叶级数: (事实上,f(x)=±x^2±c都可以得到最后的结果,这里只是方便起见) 由偶函数得bn=0, 积分用两次分部积分就可以算出来 当n=0时分母为0,故a0需单独算 故 emm习惯把三角函数也达成斜体了 令x=0可得 故∑1/n^2=π^2/6
2.
将f(x)= |x|在 [-π,π)上展开成傅里叶级数: 由于该函数为偶函数,故bn=0 emmm,a0还是得单独算 因此该函数傅里叶展开式为 令x=0解得∑1/(2n-1)^2=π^2/8, 故∑1/n^2=π^2/6。
