1. 求解微分方程dy/dx = 2x + 3y，且y(0) = 1。
解：因为dy/dx = 2x + 3y是一个一阶线性微分方程，可化为dy/dx - 3y = 2x，然后使用常系数齐次方程的解法得到通解为y = Ce^(3x) - (2/3)x - (1/9)。将y(0) = 1代入可得C = 10/9，所以特解为y = (10/9)e^(3x) - (2/3)x - (1/9)。
微分中值定理是微积分学中非常重要的一个定理，可以用于研究函数在某个区间内的变化情况。以下是几个典型的例题：
1、设 f(x)=x3−6x2+11x−6f(x)=x^3-6x^2+11x-6f(x)=x
3
−6x
2
+11x−6，求 f(x)f(x)f(x) 在区间 [−2,3][-2,3][−2,3] 上至少有一点处的斜率等于 202020。
解：由导数定义可得 f′(x)=3x2−12x+11f'(x)=3x^2-12x+11f
′
(x)=3x
2
−12x+11，根据微分中值定理可以得到：
f(3)−f(−2)3−(−2)=f′(c)\frac{f(3)-f(-2)}{3-(-2)}=f'(c)
3−(−2)
f(3)−f(−2)
=f
′
(c)
其中 c∈(−2,3)c\in(-2,3)c∈(−2,3)，因此可以列出方程：
(27−54+33−6)−(−8+24−22−6)5=3c2−12c+11\frac{(27-54+33-6)-(-8+24-22-6)}{5}=3c^2-12c+11
5
(27−54+33−6)−(−8+24−22−6)
=3c
2
−12c+11
简化后得到 c=1c=1c=1，因此在 x=1x=1x=1 处斜率等于 202020。
2、设 f(x)f(x)f(x) 在区间 [a,b][a,b][a,b] 内连续，且在 (a,b)(a,b)(a,b) 内可导，证明至少存在一点 c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)，使得 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)f(b)−f(a)=f
′
(c)(b−a)。
证明：根据Lagrange中值定理，可以得到：
f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)
b−a
f(b)−f(a)
=f
′
(ξ)
其中 ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)。因为f(x)f(x)f(x)在区间 [a,b][a,b][a,b] 上具有连续性，所以在这个区间上必定存在一个点 ccc，使得 f(c)f(c)f(c) 等于它的平均值，即：
f(c)=1b−a∫abf(x)dxf(c)=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
f(c)=
b−a
1
∫
a
b
f(x)dx
而根据微积分基本定理，有∫abf(x)dx=f(b)−f(a)\int_a^b f(x)dx=f(b)-f(a)∫
a
b
f(x)dx=f(b)−f(a)，因此可以将以上的方程改写为：
f(c)=f(b)−f(a)b−a(b−a)f(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)
f(c)=
b−a
f(b)−f(a)
(b−a)
两边同时乘以 b−ab-ab−a 即可得到：
f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
f(b)−f(a)=f
′
(c)(b−a)
其中 c∈(a,b)c\in(a,b)c∈(a,b)，这就是需要证明的结论。
