我们知道，反正切函数的定义域是(-π/2, π/2),而正切函数和反正切函数互为相反数，它们在每个区间内的值都相等，当x属于(-π/2, π/2)时，有：
sin(arctan x) = sin(π/2 - atan(x)) = cos(atan(x))
现在我们来求解sin(arctan x)的值，我们需要找到一个角度y,使得：
y = atan(x)
由于x属于(-π/2, π/2),所以y的范围也是(-π/2, π/2)，我们可以使用反正切函数来求解y:
y = arctan(x)
将这个式子代入上面的式子，得到：
sin(arctan x) = sin((π/2 - y)) = cos(y)
现在我们需要求解cos(y)的值，由于y是一个角度，所以它的值域是[0, π]，在这个范围内，我们可以使用余弦函数的性质来求解cos(y)的值，当y从0增加到π/2时，cos(y)的值从1增加到0;当y从π/2减小到π时，cos(y)的值从0减小到-1，我们可以得出结论：
sin(arctan x) = cos(y)
其中y是一个满足上述条件的角，具体的值取决于x所在的区间，如果x属于[0, 1),则y = arctan(x) = x,此时sin(arctan x) = cos(x);如果x属于(-1, 0),则y = arctan(x) = pi/2 - x,此时sin(arctan x) = cos(pi/2 - x)。
